%     Gravitación -> Capitulo 2.
%
% basado en la versión 1998-03-16
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%     Lista de cambios
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% 1.  Samuel; Se han numerado las ecuaciones a las que se hace referencia, así como las figuras.
%     Fecha: 2007-11-23
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% 2.  Paris; figuras
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: Puse el pie de las figuras despues de al figura, movi los
%     archivos a la carpeta con los TeX y quite la extención PDF.
%     Fecha: 2007-12-04
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% n.  [autor]; Sec ; Parrafo #.
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: [opcional]
%     Fecha: aaaa-mm-dd
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\chapter{Primeras preguntas}

\section{Usando la ley de gravitaci\'on}

Ya tenemos una ley  de gravitaci\'on   ¿Cu\'an buena es?
Esta es una pregunta complicada, porque primero deber\'{\i}amos esclarecer
cu\'an\-do  una teor\'{\i}a f\'{\i}sica merece el t\'{\i}tulo de
{\sl buena}. Sin entrar de inmediato en honduras, se puede afirmar
que la historia de la gravitaci\'on newtoniana es ---casi--- una historia
ininterrumpida de \'exitos: predicci\'on de la existencia de un
planeta, explicaci\'on  de las mareas, aclaraci\'on de la precesi\'on de los
equinoccios, etc. Pero,  en vez de limitarnos a  describir sus  \'exitos,
es m\'as educativo  revivir la historia de la gravitaci\'on uno mismo,
aunque sea solamente en  parte.

Usando  programas de computaci\'on muy sencillos,
es  f\'acil hacer un poco de exploraci\'on num\'erica, para
familiarizarnos con las principales caracter\'{\i}sticas de las
\'orbitas de part\'{\i}culas sometidas a fuerzas centrales.

Adem\'as, para ir conociendo los tama\~nos de las magnitudes
involucradas en casos concretos, podemos empezar jugando con
un programa que resuelva la ecuaci\'on de movimiento en el caso
de sat\'elites terrestres. Una vez obtenida una \'orbita
``decente'', podemos jugar a cambiar las condiciones iniciales,
para ver las diversas \'orbitas que se obtienen, a\'un con la misma
ley de fuerza.

Para no crear la impresi\'on de que en el caso de fuerzas centrales,
las \'orbitas son siempre secciones c\'onicas, conviene investigar
el caso en que la fuerza es central, pero de tama\~no constante.
por ejemplo la fuerza atractiva que proviene del potencial $ U =
k^2r$.

A todas las trayectorias se las puede observar desde diversos puntos
de vista. Por ejemplo, al programa que resuelve la ecuaci\'on de
movimiento podemos pedirle que represente la soluci\'on en el plano
$X, Y$ o pedirle que lo haga en el plano de las velocidades, $V_x,
V_y$. Al hacerlo en el caso de las fuerzas del tipo $1/r^2 $, uno se
encuentra con una agradable sorpresa.

Despu\'es de esta exploraci\'on preliminar, volvamos a la teor\'{\i}a.
Para no empezar por lo m\'as complicado, vamos a  intentar deducir de
ella  alg\'un hecho ya conocido:  la forma de las \'orbitas de los
planetas. A primera vista \'esta es una ocupaci\'on ociosa ya que, si
caminando hacia atr\'as no  volvemos al punto de partida (¡y no
encontramos que las \'orbitas son el\'{\i}pticas!),  la explicaci\'on
m\'as simple ser\'{\i}a que nos equivocamos  a la ida, al regreso o en
ambos trayectos.  Sin  embargo, en los viajes siempre se aprende algo,
aunque sean viajes de vuelta, sobre todo si no se sigue exactamente el
camino de venida. Por esto te proponemos un viaje de vuelta en el que esta
vez pasaremos por un lugar muy interesante: el {\sl espacio de
velocidades}.

Consideremos una part\'{\i}cula de masa $M$ y otra de masa $m$. Si
$M\gg m$  entonces, a pesar de que  las fuerzas sobre ambas son de igual
intensidad, la aceleraci\'on de $M$ ser\'a mucho menor que la de $m.$
En el caso extremo podemos suponer que $ M$ es tan grande, comparada
con  $m,$  que, si en $M$  instalamos un sistema de referencia que no
gire,  \'este ser\'a un sistema de referencia inercial.

Dicho de  otro modo,  vamos a considerar dos part\'{\i}culas,  pero
supondremos  que solamente  una  de ellas se mueve.  Esto explica
por qu\'e creo que a este ejercicio se lo debe llamar ``el problema
de la part\'{\i}cula y media''. Ni siquiera alcanza a ser
el problema de las dos part\'{\i}culas;  menos a\'un, el poblema de los
dos cuerpos.

Puesto que la fuerza sobre la part\'{\i}cula es $F = GMm/r^2$,
su aceleraci\'on  es
%
\begin{align}
\label{cap2:ec1}
\frac{d \vec v}{dt} = - K \frac{\vec r }{r^3}
\end{align}
%
en donde a la constante  $GM $ la hemos llamado  $K.$

Confiamos que esta ecuaci\'on diferencial  nos d\'e $\ldots$ la 
\'orbita que esperamos. Ya sabemos que el momentum angular $ \vec l $
es constante, as\'{\i} que tambi\'en ser\'a constante $ \vec l / m$. A este
vector, que representa el momentum angular por unidad de masa, se lo
llama  $ \vec h.$
%
\begin{align*}
\vec h = \vec l /m = \vec r \times \vec v
\end{align*}

Por supuesto tambi\'en es constante  $ r^2\dot \theta$, que es el
tama\~no del vector  $\vec h.$

Esto abre la posibilidad de simplificar la ecuaci\'on (\ref{cap2:ec1}). Si nos
conformamos con conocer la forma de la trayectoria, en vez de
la derivada respecto al tiempo $d\vec v / dt$  podemos escribir
%
\begin{align*}
\frac{d\vec v }{dt} = \frac{d\vec v}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} = \frac{d\vec v}{d\theta} \frac{h}{r^2}
\end{align*}

As\'{\i} es que
%
\begin{align*}
\frac{d \vec v}{d \theta} \frac{h }{r^2} =  - K\frac{\vec r }{r^3}
\end{align*}
%
en donde, si a la constante   $ K/h$ la llamamos R, se obtiene:
%
\begin{align}
\label{cap2:ec2}
\frac{d\vec v}{d\theta}  =   -R \widehat r.
\end{align}

Despu\'es de tanto caminar, ¿qu\'e hemos ganado? La ecuaci\'on (\ref{cap2:ec1}) nos
dice que los cambios de velocidad $d\vec v$ est\'an dirigidos hacia el Sol.
La ecuaci\'on (\ref{cap2:ec2}) dice lo mismo, pero es m\'as f\'acil
de integrar. Veremos  que en ella se esconde  un resultado conocido:
la \'orbita es una secci\'on c\'onica.

El vector unitario $ \widehat r $ que apunta desde el Sol hacia el
planeta, se puede escribir $ (\cos\theta ,  \sen\theta), $
con lo que  la ecuaci\'on (\ref{cap2:ec2}) queda
%
\begin{align}
\label{cap2:ec3}
\frac{d\vec v }{d\theta} =  -R (\cos\theta,  \sen\theta )
\end{align}

Antes de integrar, elegimos  los  l\'{\i}mites.
Supondremos que el perihelio corresponde al
\'angulo $\theta = 0$ y que all\'{\i} la velocidad  del planeta es
$\vec v_{\circ} = (0, v_{\circ}) $ de modo que integrando  (\ref{cap2:ec3}) entre los l\'{\i}mites $ 0 $  y
$\theta,$  obtenemos
%
\begin{align}
\label{cap2:ec4}
\vec v(\theta) = -R \int_0^\theta (\cos\theta, \sen\theta )d\theta = R(-\sen\theta ,  \cos\theta ) +  \vec b.
\end{align}

Hemos juntado todas las constantes de integraci\'on en una sola y la
hemos llamamos $ \vec b$.

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{./grav/cap02_fig01}}
\caption{La velocidad de un planeta en el espacio geom\'etrico.\label{cap2:f1}}
\end{figure}

Interpretemos la expresi\'on (\ref{cap2:ec4}). La velocidad del planeta es igual a
la suma de dos vectores; uno de \'estos es un vector constante $ \vec
b,$  mientras el otro es un vector de tama\~no constante $R$, pero que
gira. Adem\'as el vector que gira, $ R(-\sen\theta, \cos\theta)$,
siempre es perpendicular con el vector posici\'on $ \vec r.$ Claro
que \'esto es una met\'afora, ya que el vector posici\'on y el vector
$ R(-\sen\theta, \cos\theta)$ viven en espacios distintos, de modo que
hablar de su ortogonalidad requiere bastante imaginaci\'on.

Al lugar geom\'etrico de todos los puntos por donde pasa la punta
del vector velocidad ---en el espacio de velocidades--- se lo llama
\textsf{hod\'ografa}, en homenaje a los griegos. En el caso que
estudiamos, la hod\'ografa es una circunferencia de radio R y con
centro en $ \vec b$ respecto al origen de las velocidades. Por
supuesto podemos instalar donde quieramos a este origen de
velocidades. En la figura \ref{cap2:f2}.--, al origen de velocidades lo se\~nalamos
con la letra O. Desde aqu\'{\i} dibujamos al vector $  \vec b$, que
depende de las condiciones iniciales y desde la punta de este
vector  dibujamos al vector que gira, $ R(-\sen\theta, \cos\theta
).$ N\'otese que en el caso que estudiamos (una \'orbita cerrada), el
origen queda \underbar{dentro} de la hod\'ografa.

Cuando el planeta pasa por el perigeo, en el espacio de velocidades
su velocidad est\'a representada por el trazo $\overline{OA}$, de
tama\~no $R + b.$

En el apogeo ---punto E--- el tama\~no de la velocidad es $R-b$ y
es el punto en que el planeta se mueve m\'as lentamente.

Las figuras  \ref{cap2:f1}.-- y \ref{cap2:f2}.--  tambi\'en muestran lo que ocurre en algunos puntos intermedios.
Para ayudar a la imaginaci\'on, he dibujado tanto a $\widehat y$
como $\widehat {v_y} $ paralelos al margen izquierdo.

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{./grav/cap02_fig02}}
\caption{Velocidades en el espacio de velocidades. Aqu\'{\i} la velocidad es la suma de un vector invariable $\vec{b}$ con otro de tama\~no constante  $R$, pero  que gira.\label{cap2:f2}}
\end{figure}

Si a $b_y(0)/R $ lo llamamos $\epsilon $,  la ecuaci\'on  (\ref{cap2:ec4})
se convierte en
%
\begin{align}
\label{cap2:ec5}
\vec v = R(-\sen\theta,   \epsilon + \cos\theta )
\end{align}

Ahora aprovechamos que el momentum angular es constante.
Se tiene
%
\begin{align*}
\vec h =  \vec r\times \left( R(-\sen\theta ,  \cos\theta ) +(0, b_y) \right)
\end{align*}

El primer producto cruz que aparece en el segundo miembro, es el
producto de $ \vec r$ con un vector de tama\~no constante $R,$
siempre ortogonal con $ \vec r, $ de modo que se puede escribir como%sobra una coma después del vector r
$Rr \widehat z$. Por otra parte, el producto $ \vec r \times R(0, b_y)
$ es igual a $ rR\epsilon \cos\theta \hat{z}.$  En resumen,% se cambio el 1 por 0 y se agrego el vector unitario z
%
\begin{align*}
h \widehat z =  Rr(1+\epsilon \cos\theta)\widehat z
\end{align*}
%
asi que
%
\begin{align}
\label{cap2:ec6}
r = \frac{h/R }{( 1 + \epsilon \cos\theta) }
\end{align}

Esta es la ecuaci\'on polar de una secci\'on c\'onica. Hemos llegado
de vuelta.

% --------------------------------------------------------------
Aunque un poco largo, este caminar de vuelta  es \'util,  pues  no
s\'olo  aumenta nuestra confianza en la ley de gravitaci\'on, sino que
anticipa la posibilidad de  \'orbitas  no  el\'{\i}pticas,  ya que  las
condiciones iniciales pueden producir excentricidades mayores o
iguales a la unidad, lo que corresponde  a \'orbitas no  cerradas,
parab\'olicas o hiperb\'olicas.

En cuanto a  la curiosa relaci\'on
$ \vec v = R (-\sen\theta,  \cos\theta ) +  \vec b, $  la
aprovecharemos m\'as adelante, cuando discutamos el vector de
Runge--Lenz.

\section{Sat\'elites terrestres}

Aunque a\'un no terminamos de discutirla en todos sus detalles,
vamos a usar la ley de gravitaci\'on tal como est\'a.
En vez de aplicarla a los planetas, la usaremos para entender mejor a
los sat\'elites terrestres, comenzando por un sat\'elite rasante.

Los sat\'elites rasantes son aquellos que est\'an en una \'orbita
circular muy baja; tanto, que pasan ``raspando''  la superficie
terrestre. Por supuesto que estos sat\'elites no existen, pues
debido a su fricci\'on con el aire caer\'{\i}an a muy corta distancia.
Pero son una ficci\'on \'util, ya que simplifican los c\'alculos
y dan una idea del tama\~no de las magnitudes que intervienen,
en el caso de otros sat\'elites terrestres t\'{\i}picos. Imaginemos
que no hay atm\'osfera terrestre y que tenemos a uno de estos
sat\'elites en una \'orbita circular cuyo radio es $R = 6400\;km$, el radio terrestre. Lo que nos interesa es calcular
el tiempo que este sat\'elite ficticio demora en dar una vuelta.

Para que un objeto de masa $m$ est\'e en una \'orbita circular
de radio $R $ y se mueva con una rapidez $v,$ la fuerza que se
necesita es una fuerza dirigida hacia el centro de la \'orbita,
de tama\~no
%
\begin{align*}
F_{nec} =  m \frac{v^2 }{R}
\end{align*}

La \'unica fuerza disponible  es la atracci\'on gravitacional
de la Tierra:
%
\begin{align*}
F_{disp} = \frac{GMm}{R^2 },
\end{align*}
%
en que  $M $ es la masa de la Tierra.

Imaginemos entonces que
a este sat\'elite apenas se lo ha subido unos pocos metros %sobra el acento en la palabra este
 (para que no choque con las casas) y se le ha aplicado un empuj\'on
horizontal. Este empuj\'on  le ha dado
 de una cierta rapidez $v.$  Si $mv^2/R $ es mayor que la fuerza
disponible, entonces el sat\'elite no va a entrar en una \'orbita
circular, sino en una \'orbita el\'{\i}ptica o quiz\'as parab\'olica;
o si el empuj\'on ha sido muy grande, hiperb\'olica. Si la fuerza
necesaria para la \'orbita circular
es mayor que la fuerza disponible, esta \'ultima ser\'a incapaz de producir
la curvatura  necesaria para una \'orbita circular del tama\~no de la
tierra.

Por el contrario, si la velocidad inicial que damos al sat\'elite es
muy peque\~na, entonces la fuerza disponible es mayor que la fuerza
necesaria para una \'orbita circular y el sat\'elite entrar\'a otra
vez en una \'orbita el\'{\i}ptica, pero esta vez la \'orbita
intercepta a la Tierra; es decir, el sat\'elite no entrar\'a en
\'orbita, sino que caer\'a a la Tierra.

Se ve que para obtener una \'orbita circular, debemos ajustar el
tama\~no de la rapidez del sat\'elite hasta que se cumpla la
condici\'on
%
\begin{align*}
F_\text{necesaria} =  F_\text{disponible}
\end{align*}
 
Se tiene entonces que
%
\begin{align}
\label{cap2:ec7}
\frac{v^2}{R} =  \frac{GM}{R^2}
\end{align}

Nos interesa el per\'{\i}odo de revoluci\'on. Lo obtendr\'{\i}amos de
inmediato  si conoci\'esemos a $v,$ as\'{\i} es que vamos a calcular
esta rapidez.
Para  $R,$  adoptaremos el valor  6400 km.
Este es un bonito n\'umero: es casi exactamente igual al radio de la tierra
y adem\'as,  tiene ra\'{\i}z cuadrada exacta.
%
\begin{align*}
v^2 & =  \frac{Gm}{R^2}  R = g  R\\
& = 10 \times 6.4 \times 10^6 \\
v & =  8 \; \hbox{\rm km/s} 
\end{align*}

Seg\'un la antigua definici\'on de ``metro'', el largo de un meridiano
terrestre es 40.000 km. La \'orbita es rasante,
as\'{\i} que en cada vuelta el sat\'elite recorre 40.000 km y como vuela a
8 km/s,  en cada vuelta demora 5000 segundos.
 Este es el per\'{\i}odo de un sat\'elite rasante: cinco mil
segundos; o bien, 83 minutos. Los sat\'elites que est\'an un poco m\'as alejados de la tierra tardan un poco m\'as, as\'{\i} es que si nos preguntan cu\'anto es el
per\'{\i}odo de
un sat\'elite terrestre t\'{\i}pico, podemos decir:
``lo que dura un partido de f\'utbol''.

Dos son los resultados m\'as importantes de este ejercicio. Por una
parte, hemos calculado la velocidad m\'{\i}nima para que un sat\'elite
terrestre ra\-san\-te entre en \'orbita: 8 km/seg. Es un n\'umero que %hay que silabear la palabra rasante en ra y san
distingue a nuestra ``ci\-vi\-li\-za\-ci\'on'', ya que las%también civilización en ci y vi
civilizaciones m\'as antiguas eran incapaces de lanzar un objeto
a 8 km/s.
A este n\'umero los rusos acostumbran llamarlo {\bf primera
cons\-tan\-te c\'osmica}. Si no podemos alcanzar esa velocidad, estamos condenados% constante en cons y tan
a seguir atados a la Tierra.

Otro asunto importante es el razonamiento que nos permite escribir
la ecuaci\'on (\ref{cap2:ec7}). En algunos malos libros se la presenta como si
la ecuaci\'on (\ref{cap2:ec7}) representase la igualdad entre la {\sl fuerza
centr\'{\i}fuga} y la {\sl fuerza de atracci\'on}. No puede ser as\'{\i}, ya
que si fuesen de igual tama\~no, como act\'uan sobre un mismo cuerpo,
¡se anular\'{\i}an y el cuerpo se mover\'{\i}a en l\'{\i}nea recta!
Por otra parte, tenemos derecho a hablar de fuerza centr\'{\i}fuga solamente
si nos instalamos en un sistema de referencia giratorio; si lo
hacemos, lo m\'as probable es que tengamos que agregar la fuerza
de Coriolis. Es m\'as simple usar un sistema de referencia inercial,
que es lo que hemos hecho al escribir la ecuaci\'on (\ref{cap2:ec7}).

Otro tipo importante de sat\'elite  es el destinado a las transmisiones de
televisi\'on. Estos son sat\'elites que, al lanzarlos, se trata de que
logren un per\'{\i}odo de revoluci\'on exactamente igual al tiempo que demora
la Tierra en dar una vuelta sobre su eje. Si se consigue esto
y el sat\'elite se mueve en el plano ecuatorial, entonces, visto desde
la Tierra, el sat\'elite estar\'a  inm\'ovil. Por esta raz\'on  a estos
sat\'elites se les llama {\bf geo--estacionarios}; o bien,
{\bf geo--sincr\'onicos}.

Si la ley de gravitaci\'on es realmente universal, entonces la tercera
ley de Kepler nos dice que hay una relaci\'on estricta entre el
per\'{\i}odo de un sat\'elite terrestre  y el tama\~no de su
\'orbita. Vamos a investigar entonces qu\'e tama\~no debe
tener la \'orbita, para que el sat\'elite sea geo--sincr\'onico.

Sabemos que un d\'{\i}a tiene 24 horas y que cada hora tiene 3600
segundos, de modo que un d\'{\i}a tiene 86400 segundos. Esto
significa que si en cierto momento el Sol pasa justo sobre nuestra
cabeza, debemos esperar 86400 segundos para que vuelva a pasar. Pero
\'este no es el tiempo que demora la Tierra en dar una vuelta
sobre s\'{\i} misma,  {\sl respecto a las estrellas lejanas}.

Toda la complicaci\'on proviene de que, junto con girar sobre s\'{\i}
 misma, la Tierra describe una \'orbita en torno al Sol. Entonces,
aun si la Tierra no girase sobre s\'{\i} misma, por el hecho de girar en%en este caso la palabra aun (incluso) no lleva acento
torno al Sol nosotros ver\'{\i}amos que el Sol pasa una vez al a\~no
sobre nuestras cabezas. Dicho de otro modo, por el hecho de girar en
torno al Sol, cada d\'{\i}a la Tierra gira aproximadamente $1/365 $
de vuelta menos que una vuelta completa.

Con respecto a las estrellas lejanas, el tiempo que demora la Tierra
en dar una vuelta sobre s\'{\i} misma ---llamado ``per\'{\i}odo
sin\'odico''--- es  \hbox{(1 -- 1/365.2422)} d\'{\i}as solares, esto es, 86164
segundos; o bien, 23 horas 56 minutos 4 segundos.

Conocido el per\'{\i}odo que debe tener un sat\'elite para ser
visto inm\'ovil desde la Tierra, podemos usar la tercera ley de Kepler para
obtener el radio de su \'orbita. Lo vamos a comparar con
el sat\'elite rasante que ya conocemos.

Si como unidad de distancia tomamos al radio terrestre,
la tercera ley de Kepler nos  permite escribir
%
\begin{align*}
1 / (5000)^2 = r^3/ (86164)^2
\end{align*}
%
y de aqu\'{\i} se encuentra que la \'orbita de un sat\'elite
geo--estacionario debe tener un radio de
%
\begin{align*}
r = 42164.23 \kern1pc \hbox{km}
\end{align*}

Pudiera parecer un rasgo neur\'otico  preocuparse de la diferencia
entre un d\'{\i}a solar medio (86400 segundos) y un d\'{\i}a sideral
(86164 segundos), pero resulta que este es un caso en que debemos
preocuparnos hasta de las \'ultimas cifras significativas, ya que
un peque\~no error en el tama\~no de la \'orbita producir\'{\i}a un error
en el per\'{\i}odo y en pocos d\'{\i}as el sat\'elite ser\'{\i}a
in\'util para sus fines.

\section{¿Por qu\'e no se caen los sat\'elites?}

Desde que el Sputnik entr\'o en \'orbita en 1958, un tema siempre
de actualidad han sido los sat\'elites artificiales. Aunque son muchas
las preguntas que podemos formularnos, la primera
de todas es:  \textsf{¿por qu\'e no se caen los sat\'elites?}

Para m\'{\i}, la mejor respuesta es: \textsf{¡porque no tienen por
qu\'e caerse!} La pregunta misma se origina en una confusi\'on conceptual. En la
din\'amica paleol\'{\i}tica ---que a\'un es la din\'amica de muchos---, son
ciertas las siguientes afirmaciones:

\begin{itemize}
\item[1)] Si empujo esta roca hacia all\'a, se mover\'a hacia all\'a;
\item[2)] Si dejo de jalar, la roca se detendr\'a.
\end{itemize}

Estas afirmaciones son producto de la actividad diaria del hombre
de las cavernas, de modo que si a \'el le dicen que hay algo que anda
por all\'a arriba y que ese algo est\'a siendo constantemente jalado hacia
abajo, es natural que \'el se pregunte: ¿ por qu\'e no se mueve
hacia ac\'a?  Para los hombres y mujeres de las cavernas, \textsf{fuerza}
y \textsf{desplazamiento} estaban estrechamente ligados, como lo muestran  sus
leyes  1) y 2).

Despu\'es se invent\'o el b\'eisbol y fue durante los comerciales
que los espectadores  empezaron a reflexionar ante este ejemplo
muy concreto de movimiento: el jal\'on de la tierra es hacia abajo y
sin embargo el movimiento de la pelota es hacia otro lado.
El caso extremo es cuando la pelota va subiendo, pues entonces
el jal\'on es hacia abajo, mientras que el desplazamiento es hacia arriba.

En la mec\'anica, que explica tanto los fen\'omenos que interesaron
ayer al hombre de las cavernas como hoy a los beisbolistas, la relaci\'on
entre jal\'on y movimiento es una relaci\'on mucho m\'as indirecta.
La fuerza est\'a ligada con los \textsf{ cambios de velocidad} y
esto es lo que hacen las pelotas de b\'eisbol y los sat\'elites: van
cambiando su velocidad  en la direcci\'on de la fuerza que act\'ua
sobre ellos.
En \'ultimo an\'alisis, lo que hace dif\'{\i}cil la comprensi\'on
de la ley $ \vec F = m d\vec v /dt $ es que no tiene que ver con
el espacio geom\'etrico en el que creemos vivir ---el espacio de
las X, Y, Z---, sino con el espacio de las velocidades,
el espacio de las $V_x , V_y, V_z $. Dicho de otro modo, $ \vec F $
no tiene que ver con  $\Delta \vec r, $ sino con  $\Delta \vec v $.
Mientras este problema conceptual b\'asico no se aclare, todas
las dem\'as explicaciones que se den, respecto
a por qu\'e no se caen los sat\'elites, resultar\'an in\'utiles.

Los sat\'elites describen \'orbitas el\'{\i}pticas, pero tomemos
la elipse m\'as sencilla de todas (la elipse con $ a = b $)  y tratemos
otra vez de entender el movimiento circular, construy\'endonos un
sat\'elite en miniatura.
 Se trata de una canica que cuelga de un hilo atado a una viga.
Se le ha dado un empuj\'on inicial tal, que la canica describe una
\'orbita circular,  en un plano horizontal.

¿Por qu\'e no se cae la canica? Porque el hilo la jala y la componente
vertical de este jal\'on es exactamente igual al peso de la canica.

¿Por qu\'e la canica est\'a describiendo una circunferencia, en
vez de escaparse por la ventana? Porque el jal\'on del  hilo tiene una
componente ho\-ri\-zon\-tal, que va girando, de modo que  siempre apunta hacia el
centro de su peque\~na \'orbita y tiene el tama\~no justo y necesario.

